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    （2013•淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
    （1）当ι=
    7
    7
    时，点P与点Q相遇；
    （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
    （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
    ①求s与ι之间的函数关系式；
    ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
    分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即可求得；
    （2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
    （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
    解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=
    		AB2-BC2
    =4，
    则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
    根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7．

    （2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．
    则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1．
    当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
    1
    2
    PC．△AQH∽△ABC，
    在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=
    3
    5
    AQ=
    3
    5
    (2t-4)    ．
    ∵PC=BC-BP=3-t，
    ∴
    3
    5
    （2t-4）=
    1
    2
    （3-t），
    解得：t=
    39
    17
    ；

    （3）连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，
    则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
    在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
    同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
    3
    5
    （14-2t），
    故s=
    1
    2
    （t-3）×
    3
    5
    （14-2t）=
    3
    5
    （-t2+10t-21）．
    故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
    ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
    ∴PD一定是AC的中垂线．
    则AP=
    1
    2
    AC=2，PD=
    1
    2
    BC=
    3
    2
    ，
    AQ=14-2t=14-2×5=4．
    则PC边上的高是：
    3
    5
    AQ=
    3
    5
    ×4=
    12
    5
    ．
    ∵∠COF=∠CDP=∠B，
    所以，tan∠COF=
    4
    3
    ，设OF为x，
    则利用三角函数得CF=
    4x
    3
    ，PF=2-
    4x
    3
    ，
    则QE=
    12
    5
    ，AE=
    16
    5
    ，
    ∴PE=
    6
    5
    ，
    ∵△POF∽△PQE，
    ∴
    OF
    QE
    =
    PF
    PE
    ，
    解得：x=
    12
    11
    ，
    S△PCO=
    1
    2
    ×2×
    12
    11
    =
    12
    11
    ．
    点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．
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