[题目]已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A (1.0)和点B (-3.0).与y轴交于点C.点P为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为 .抛物线的项点坐标为 ,(2)如图1.是否存在点P.使四边形BOCP的面积为8?若存在.请求出点P的坐标,若不存在.请说明理由．(3)如图2.连接OP交BC于点D.当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时.请求出点D的坐标,(4)如图3.点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为__________，抛物线的项点坐标为__________；

（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；

（4）如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x22x＋3；（1，4）（2）不存在，理由见解析（3）D（1，2）（4）P（，）

【解析】

（1）设函数的表达式为：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3），即可求解；

（2）利用S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝8，即可求解；

（3）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×3＝2，即可求解；

（4）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解．

（1）函数的表达式为：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3）=ax2＋bx＋3，

即：3a＝3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x22x＋3=（x+1）2＋4，

∴顶点坐标为（1，4）

故答案为y＝x22x＋3；（1，4）；

（2）不存在，理由：

如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

令二次函数x=0,解得y=3

∴C（0，3）

设直线BC的解析式为：y＝kx＋b

把C（0，3），B （-3，0）代入得

解得

∴直线BC的表达式为：y＝x＋3，

设点P（x，x22x＋3），点H（x，x＋3），

则S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝×3×3＋（x22x＋3x3）×3＝8，

整理得：3x2＋9x＋7＝0，

解得：△＜0，故方程无解，

则不存在满足条件的点P．

（3）∵OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，

∴BC=

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD＝BC＝×3＝2，

∴yD＝BDsin∠CBO=2×＝2，代入直线BC得2＝x＋3，

解得x=-1

∴D（1，2）；

（4）如图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝45°，

∴OH＝OE＝1，

∴H（-1，0），

设直线HE的表达式为：y＝px+q

把H（-1，0），E（0，-1）代入得

解得

∴直线HE的表达式为：y＝x1，

联立

解得：x＝（舍去正值），

故点P（，）．

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