Question

11．已知抛物线y=mx²-（m-5）x-5（m＞0），与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），与y轴交于点C且AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）画出它们的大致图象；
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥X轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积1：3的两部分？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程mx²-（m-5）x-5=0可得到A点和B点坐标，再利用AB=6得到1+$\frac{5}{m}$=6，可解得m=1，从而得到抛物线解析式，于是可确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）先利用配方法得到=（x+2）²-9，则抛物线的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，-9），然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）直线MN交直线BC于点P，如图，设M（x，x²+4x-5），则P（x，5x-5），则MP=|x²-x|，PN=|5x-5|，根据三角形面积公式得到MP=3PN或PN=3NP，则|x²-x|=3|5x-5|或|5x-5|=3|x²-x|，然后分别解方程得到满足条件的x的值，从而得到M点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，mx²-（m-5）x-5=0，解得x₁=-$\frac{5}{m}$，x₂=1，则A（-$\frac{5}{m}$，0），B（1，0），
∵AB=6，
∴1+$\frac{5}{m}$=6，解得m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x-5，
当x=0时，y=x²+4x-5=-5，则C（0，-5），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（1，0），C（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=5x-5；
（2）y=x²+4x-5=（x+2）²-9，抛物线的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，-9）
如图，
（3）存在．
直线MN交直线BC于点P，如图，
设M（x，x²+4x-5），则P（x，5x-5），
∴MP=|x²+4x-5-（5x-5）|=|x²-x|，PN=|5x-5|，
∵△MBN被直线BC分成面积1：3的两部分，
∴MP=3PN或PN=3NP，
即|x²-x|=3|5x-5|或|5x-5|=3|x²-x|，
解|x²-x|=3|5x-5|得x₁=1（舍去），x₂=15或x₁=1（舍去），x₂=-15（舍去）
解|5x-5|=3|x²-x|得x₁=1（舍去），x₂=$\frac{5}{3}$或x₁=1（舍去），x₂=-$\frac{5}{3}$（舍去），
∴M点坐标为（15，280）或（$\frac{5}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求一次函数的解析式；理解坐标与图形性质；把面积等份的问题转化为线段等份的问题是解决（3）小题的关键．