Question

12．求证：
（1）81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（2）3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ能被10整除（n是正整数）．

Answer 1

分析 （1）观察81⁷、27⁹、9¹³这三个数，都可以写成底数为3的数：3²⁸、3²⁷、3²⁶，提取公因式3²⁶，整理求证．
（2）首先分组分解，再进一步探讨得出答案即可．

解答 证明：（1）原式=9¹⁴-9⁹×3⁹-9¹³
=3²⁸-3²⁷-3²⁶
=3²⁶（3²-3-1）
=3²⁶×5
=3²⁴×3²×5
=45×3²⁴．
所以能被45整除．

（2）∵3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ
=3ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ⁺²-2ⁿ
=3ⁿ（3²+1）-2ⁿ（2²+1）
=10×3ⁿ-2^n-1×10
=10×（3ⁿ-2^n-1），
∴3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ能被10整除．

点评 此题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法的方法和同底数幂的乘法是解决问题的关键．