Question

6．△ABC中，已知AB=20，AC=15，BC边上的高AD为12，AE是△ABC的外接圆的直径；
（1）求BC的长；
（2）求直径AE的长；
（3）若一个正方形一边在AB边上，另两个顶点分别在AC和BC边上，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD；
（2）分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）①如图1，锐角△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中，AB=20，AD=12，由勾股定理得：
BD²=AB²-AD²=20²-12²=256，
∴BD=16，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
∴CD=9，
∴BC的长为BD+DC=16+9=25；

②钝角△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=20，AD=12，由勾股定理得：
BD²=AB²-AD²=20²-12²=256，
∴BD=16，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
∴CD=9，
∴BC的长为BD-DC=16-9=7；
∴BC的长25或7；
（2）①如图1，锐角△ABC中，∵AE是△ABC的外接圆的直径；
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AB}{AD}$，
即$\frac{AE}{15}=\frac{20}{12}$，
∴AE=25；
②如图2，钝角△ABC中，∵∠D=∠ABE=90°，∠ACD=∠AEB，
∴∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AB}{AD}$，
即$\frac{AE}{15}=\frac{20}{12}$，
∴AE=25；
（3）①如图3，∵AB=20，BC=25，AC=15，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠A=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴设EF=x，
则AG=EF=FG=x，
∵FG∥AC，
∴△BFG∽△BCA，
∴$\frac{FG}{AC}$=$\frac{BG}{AB}$，即$\frac{x}{15}$=$\frac{20-x}{20}$，
∴x=$\frac{60}{7}$；
②如图4，∵AB=20，AC=15，BC=7，
过C作CM⊥AB于M，
∵EF∥HG，
∴CN⊥EF，
∵BC边上的高AD=12，
∴CM=$\frac{12×7}{20}$=$\frac{21}{5}$，
∵∵四边形AEFG是正方形，
∴设EF=x，
则EH=EF=NM=x，
∵△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{x}{20}$=$\frac{\frac{21}{5}-x}{\frac{21}{5}}$，
∴x=$\frac{420}{121}$，
∴正方形的边长为$\frac{60}{7}$或$\frac{420}{121}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．