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精英家教网如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径.
分析:此题的关键是找到这一条最短的路径,根据两点之间线段最短可求,利用底面周长=展开图的弧长可求出圆心角的度数,再根据勾股定理求出弦的长度.
解答:解:把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形,
则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段).
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由此知:OA=OA′=3r,
ADA
的长即为圆锥的底面周长为2πr.
∴2πr=
nπ•3r
180
,n=120°,
即∠AOA′=120°,∠OAC=30度.
∵OA=OA′,
∴OC⊥AA′,
OC=
1
2
OA=
3
2
r

AC=
OA2-CO2
=
3
2
3
r

∴AA′=2AC=3
3
r,
即蚂蚁运动的最短路程是3
3
r.
点评:此题的关键是找到这一条最短的路径,并熟悉圆锥的展开图,根据已知的条件求弦长.
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