【题目】如图,四边形ABCD为矩形,O为AC中点,过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形.
(2)若AC=8,EF=6,求BF的长.
【答案】
(1)证明:∵O为AC中点,EF⊥AC,
∴EF为AC的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA.
∵AE∥CF,
∴∠EAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠ECA,
∴AF∥CE,
∴四边形AFCE平行四边形,
又∵EA=EC,
∴平行四边形AFCE是菱形.
(2)解:∵四边形AFCE是菱形,AC=8,EF=6,
∴OE=3,OA=4,
又∵EF⊥AC,
∴AE=CF=5,
设BF=x,
在Rt△ABF中,
AB2=AF2﹣BF2,
在Rt△ABC中,
AB2=AC2﹣BC2.
∴52﹣x2=82-(x+5)2,
解得 x=,
∴ BF=.
【解析】(1)由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线,再由其性质得EA=EC,FA=FC;根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA,
∠FAC=∠FCA;由平行线的性质知∠EAC=∠FCA,等量代换即可得∠FAC=∠ECA,由平行线的判定得AF∥CE,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形;再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证.
(2)由菱形的性质和已知条件得OE=3,OA=4,再由勾股定理得AE=CF=5,设BF=x;在Rt△ABF和Rt△ABC中,由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2,AB2=AC2﹣BC2.代入数值即可得出方程,解之即可得出答案.
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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【题目】 我们定义:如图1、图2、图3,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′,当α+β=180°时,我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”.
(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,“旋补中线”AD与BC的数量关系为:AD= BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则“旋补中线”AD长为 .
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系,并给予证明.
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【题目】图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了层,将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
如果图中的圆圈共有13层,请解决下列问题:
(1)若自上往下,在图①每个圆圈中填上一串连续的正整数1,2,3,4,…,得到图3,写出第11层最左边这个圆圈中的数;
(2)若自上往下,在图①每个圆圈中填上一串连续的整数-23,-22,-21,20,…,得到图4,写出第10层最右边圆圈内的数;
(3)根据以上规律,求图4中第1层到第10层所有圆圈中各数之和(写出计算过程).
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【题目】陆老师布置了一道题目:过直线l外一点A作l的垂线.(用尺规作图)
小淇同学作法如下:
(1)在直线l上任意取一点C,连接AC;
(2)作AC的中点O;
(3)以O为圆心,OA长为半径画弧交直线l于点B,如图所示;
(4)作直线AB.
则直线AB就是所要作图形.
你认为小淇的作法正确吗?如果不正确,请画出一个反例;如果正确,请给出证明.
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【题目】水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=16,AC=20,点D与点A关于y轴对称,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合),且∠CEF=∠ACB.
(1)直接写出BC的长是 , 点D的坐标是;
(2)证明:△AEF与△DCE相似;
(3)当△EFC为等腰三角形时,求点E的坐标.
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【题目】如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么这个正整数为“神秘数”.
如:
因此,4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)28和2012这两个数是不是神秘数?为什么?
(2)设两个连续偶数为和(其中为非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数,请说明理由.
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是不是神秘数?请说明理由.
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【题目】如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0).下列结论: ①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③抛物线与x轴的另一个交点是(4,0);
④点(﹣3,y1),(6,y2)都在抛物线上,则有y1<y2 . 其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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