【题目】问题背景:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1:将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量AB=4cm,AC=8cm,问题解决:
(1)将图1中的△ACD以点为A旋转中心,按逆时针方向能转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是 .
(2)缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B、A、D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长到点G,使FG=AF,连接CG、C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:(3)创新小组在缜密小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图4所示,连接CC',试求tan∠C'CH的值.
【答案】(1)菱形;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)先判断出∠ACD=∠BAC,进而判断出∠BAC=∠AC'D,进而判断出∠CAC'=∠AC'D,即可得结论;
(2)先判断出∠CAC'=90°,再判断出AG⊥CC',CF=C'F,进而判断出四边形ACGC'是菱形,即可得出结论;
(3)先判断出∠ACB=30°,进而求出BH,AH,即可求出CH,C'H,即可得出结论.
(1)在如图1中,
∵AC是矩形ABCD的对角线,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
在图2中,由旋转知,AC'=AC,∠AC'D=∠ACD,
∴∠BAC=∠AC'D,
∵∠CAC'=∠BAC,
∴∠CAC'=∠AC'D,
∴AC∥C'E,
∵AC'∥CE,
∴四边形ACEC'是平行四边形,
∵AC=AC',
∴ACEC'是菱形,
故答案为:菱形;
(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°
在图3中,由旋转知,∠DAC'=∠DAC,
∴∠ACB=∠DAC',
∴∠BAC+∠DAC'=90°,
∵点D,A,B在同一条直线上,
∴∠CAC'=90°,
由旋转知,AC=AC',
∵点F是CC'的中点,
∴AG⊥CC',CF=C'F,
∵AF=FG,
∴四边形ACGC'是平行四边形,
∵AG⊥CC',
∴ACGC'是菱形,
∵∠CAC'=90°,
∴菱形ACGC'是正方形;
(3)在Rt△ABC中,AB=4,AC=8,
∴AC'=AC=8,AD=BC=4,sin∠ACB=,
∴∠ACB=30°,
由(2)结合平移知,∠CHC'=90°,
在Rt△BCH中,∠ACB=30°,
∴BH=BCsin30°=2,
∴C'H=BC'﹣BH=8﹣2,
在Rt△ABH中,AH=AB=2,
∴CH=AC﹣AH=8﹣2=6,
在Rt△CHC'中,tan∠C′CH=.
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【题目】如图,在菱形纸片ABCD中,AB=4,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则sin∠EFG的值为________.
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【题目】如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm,点P在CD边上,AP=AB, PC=4cm,连结PB.点M从点P出发,沿PA方向匀速运动(点M与点P、A不重合);点N同时从点B出发,沿线段AB的延长线匀速运动,连结MN交PB于点F.
(1)求AB的长;
(2)若点M的运动速度为1cm/s,点N的运动速度为2cm/s,△AMN的面积为S,点M和点N的运动时间为,求S与的函数关系式,并求S的最大值;
(3)若点M和点N的运动速度相等,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在运动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
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【题目】(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).
请回答:∠ADB= °,AB= .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线过B(﹣2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.
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【题目】九(1)班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别,每位同学仅选一项.根据调査结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别 | 频数(人数) | 频率 |
小说 | a | 0.5 |
戏剧 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合计 | b | 1 |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)直接写出:a= .b= m= ;
(2)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请求选取的2人恰好是甲和乙的概率.
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【题目】当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形,则这个“特征角”的度数为______.
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【题目】为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益(元)会相应降低且与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.
(1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元?
(2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款额之间的函数关系式;
(3)要使该商场销售彩电的总收益(元)最大,政府应将每台补贴款额定为多少?并求出总收益的最大值.
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【题目】实施新课程改革后,学生的自主学习、合作交流能力有很大提高,张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况,对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查,并将调查结果分成四类,A:特别好;B:好;C:一般;D:较差;并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中C类女生有 名,D类男生有 名;将上面的条形统计图补充完整;
(2)计算扇形统计图中D所占的圆心角是 ;
(3)为了共同进步,张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
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