Question

如图，在内切的两圆中，设C为小圆的圆心，O为大圆的圆心，P为切点，⊙O的弦PQ和⊙C相交于R，过点R作⊙C的切线与⊙O交于A、B两点，求证：Q是弧AB的中点．

Answer 1

【答案】分析：此题根据两圆相切，切点一定在连心线上，可以作辅助线．连接过切点的半径可以得到直角．要证明弧相等，结合垂径定理的推论，只需证明OQ⊥AB．所以根据同位角相等，证明出OQ∥CR，此题可解．
解答：证明：连接OC并延长，则延长线必经过切点P，连接CR；
∵CP=CR，
∴∠P=∠CRP．
∵OP=OQ，
∴∠P=∠Q．
∴∠CRP=∠Q．
∴CR∥OQ．
∵AB与⊙O相切于点R，
∴CR⊥AB．
∴OQ⊥AB．
∴Q是弧AB的中点．
点评：此题综合运用了两圆相切的性质、切线的性质定理、平行线的判定定理、等边对等角以及垂径定理的推论．