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4.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,
(1)求∠BPE的度数;
(2)若BF⊥AE于点F,试判断BP与PF的数量关系.

分析 (1)由等边三角形的性质得出AB=CA,∠BAD=∠ACE=60°,由SAS即可证明△ABD≌△CAE,得到∠ABD=∠CAE,利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD,即可解答
(2)由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE,根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°,由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF与BP的关系.

解答 解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60°,
在△ABD和△CAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠CAE,
∵∠BPE=∠BAP+∠ABD,
∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°.
(2)PF=$\frac{1}{2}$BP.
∵△ABD≌△CAE,
∴∠ABD=∠CAE,
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD,
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°,
∵BF⊥AE,
∴∠PFB=90°,
∴∠PBF=30°,
∴PF=$\frac{1}{2}$BP.

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

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