Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=2.5，定点P在斜边BC上，且BP=3，以P点为中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°至△A′B′C′．
（1）画出旋转后的图形；
（2）求旋转后两个直角三角形重叠部分的面积．

Answer 1

考点：作图-旋转变换

专题：作图题

分析：（1）过点P作B′C′⊥BC，截取PB′=PB，PC′=PC，分别以点B′、C′为圆心，以AB、AC为半径画弧，相交于点A′，连接A′B′、A′C′即可得解；
（2）解直角三角形求出PE根据旋转的性质可得PC′=PC，PD=PE，再求出EF、C′F，然后根据重叠部分的面积等于两个直角三角形的面积的差列式计算即可得解．

解答：解：（1）如图所示；

（2）∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2.5，
∴BC=2AB=2×2.5=5，
∵BP=3，
∴CP=5-3=2，
∴PE=

3

3

PC=

2 3

3

，
PD=PE=

2 3

3

，
C′F=2-

2 3

3

，
EF=

1

2

C′E=1-

3

3

，
C′F=

3

EF=

3

-1，
所以，重叠部分的面积=

1

2

×

2 3

3

×2-

1

2

×（1-

3

3

）×（

3

-1）=

2 3

3

-

2 3 -3

3

=1．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，三角形的面积，解直角三角形，难点在于（2）求出重叠部分的面积的表示．