Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：

①△ABE≌△DCF；②∠PDF=15°；③；④,其中正确的结论有（ 　 ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；

②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠CPD=75°，进而得出答案；

③先得出，再根据CD=BP得出，进而根据相似三角形的性质即得．

；

④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．

解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△DCF，故①正确；

∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，

∴∠CDP=75°，

∴∠PDF=∠ADC-∠CDP=90°-75°=15°，故②正确；

∵∠PCD=30°，

∴DF=,根据勾股定理CD=FC，

∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，

∵∠DBC=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，

∵△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°，

∴，

，

S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD

，

∴，故④正确；

故正确的有4个，

故选：D．