分析 设运动时间为t秒,由运动速度可知,BP=t,CQ=2t,则PC=5-t.
(1)在Rt△CPQ中,由勾股定理列方程求t的值;
(2)在Rt△CPQ中,利用面积公式列方程求t的值.
(3)得到有关PQ2的二次函数求得最值后开方即可;
(4)确定S关于t的二次函数,然后求最值即可.
解答 解:(1)设运动时间为t秒,则BP=t,CQ=2t,PC=5-t,
在Rt△CPQ中,CQ2+CP2=PQ2,即(2t)2+(5-t)2=52,
解得t1=0(舍去),t2=2.
所以,2秒后,线段PQ的长为5;
(2)在Rt△CPQ中,S△CPQ=$\frac{1}{2}$×CQ×CP,
即$\frac{1}{2}$×2t×(5-t)=6,
整理,得t2-5t+6=0,
解得t1=2,t2=3,
检验:当t=2或3时,CQ=2t<7,CP=5-t>0,符合题意.
所以,2秒或3秒后,△CPQ的面积为6.
(3)∵PQ2=4t2++(5-t)2=5(t-1)2+20≥20,
∴当t=1时,有最小值为2$\sqrt{5}$;
(4)∵S=$\frac{1}{2}$(5-t)×2t=-t2+5t,
∴当t=$\frac{5}{2}$时S最大.
点评 本题考查了一元二次方程的应用,勾股定理的应用.关键是在直角三角形中,运用运动速度表示两直角边的长,运用勾股定理和三角形面积公式解题.
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