Question

(满分l4分)如图，点P是双曲线y=(k₁<0，x<0)上一动点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交x轴，y轴于A，B两点，交双曲线y= (0<k₂<︱k₁︱)于E，F两点．
(1)图①中，四边形PEOF 的面积S₁=__________(用含k₁，k₂的式子表示)；
(2)图②中，设点P坐标为(-4，3)．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值?若有，求出其最小值；若没有，请说明理由

Answer 1

解：(1)k₂+k₁；                                                 ……3分

(2)OEF∥AB．                                                       ……4分
证明：如图D8—5，由题得A(-4，0)，B(0，3)，
E(-4，-)，F(，3)．
∴PA=3，PE=3+，PB=4，PF=4+．
∴ ，
∴                                                      ……7分
又∵∠APB=∠EPF．
∴△APB∽△EPF．∴∠PAB=∠PEF．
∴EF∥AB．                                                        ……8分
②S₂没有最小值，理由如下：
过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．
由上知M(0，-)，N(，0)，Q(，-)．                   ……10分
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF一S_△OEF=S_△EFQ一S_△OEF=S_△EOM+S_△FON+S_矩行OMQN
=k₂+k₂+·
= k₂+k₂²
= (k₂+6) ²—3．                                            ……12分
当k₂>一6时，S₂的值随k₂的增大而增大，而0<k₂<12．                ……13分
∴O<S₂<24，S₂没有最小值．                                        ……l4分

略