Question

抛物线y=

1

2

x2-2(m+

5

4

)x+2(m+1)与y轴的正半轴交于点C，与x轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根与系数的关系和同高不等底的三角形的底的数量关系列等式解答；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点，得到三角形各边长，计算两三角形直角边是否成比例即可．

解答：解：（1）设A（x₁，0），（x₂，0），△=4（m+

3

4

）²＞0，C（0，2m+2）是y轴正半轴上的点，
则2m+2＞0，即m＞-1，
又x₁+x₂=4（m+

5

4

）＞0，
x₁x₂=4（m+1）＞0，
∴x₂＞x₁＞0，
由S_△ABC=3S_△OAC得S_△OBC=4S_△OAC，
∴x₂=4x₁，
与根与系数的关系联立可得，（

4

5

m+1）²=m+1，
解得，m₁=0，m₂=-

15

16

．
对应的抛物线解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2，y=

1

2

x²-

5

8

x+

1

8

．

（2）当m=0时，抛物线解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2，
可得A（1，0），B（4，0），C（0，2）．
故

OA

OC

=

1

2

；

OC

OB

=

2

4

=

1

2

；
故△AOC∽△COB．
当m=-

15

16

时，
可得A（

1

4

，0），B（1，0），C（0，

1

8

）．

OA

OC

=

1 4

1 8

=2；

OC

OB

=

1 8

1

=

1

8

；

OB

OC

=8；
故△AOC与△COB不相似．

点评：此题考查了抛物线的相关知识，综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于（1），建立关于m的等式，求出m的值；对于（2）依m的值分类讨论．