如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6.BC=8.点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动.同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动.过点P作PD⊥BC.交AB于点D.连接PQ．当其中一点到达端点时.另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒．(1)当a=2时.解答下列问题:①QB=8-2t.PD=$\frac{4}{3}$t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当a=2时，解答下列问题：
①QB=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t．（用含t的代数式分别表示）
②通过计算说明，不存在t的值使得四边形PDBQ为菱形．
（2）当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．
（3）当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．

分析（1）①根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{4}{3}$，则可求得QB与PD的值；
②易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；
（2）设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）由题意AP=2，PC=4，CQ=2a，又QM=PM，点M到△ABC是三边距离相等，推出CM是∠PCQ的平分线，推出PC=CQ，可得2a=4，推出a=2，经检验，此时点M是△ABC的内心，由此即可解决问题；

解答解：（1）①根据题意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴PD=$\frac{4}{3}$t．
故答案为：（1）8-2t，$\frac{4}{3}$t．

②不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即 $\frac{AD}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t，
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=$\frac{4}{3}$，解得：t=$\frac{12}{5}$．
当t=$\frac{12}{5}$时，PD=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能为菱形．

（2）设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即 $\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t，解得：t=$\frac{10}{3}$，
当PD=BQ，t=$\frac{10}{3}$时，即 $\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得：v=$\frac{16}{15}$；
当点Q的速度为每秒 $\frac{16}{15}$个单位长度时，经过 $\frac{10}{3}$秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）由题意AP=2，PC=4，CQ=2a，
∵QM=PM，点M到△ABC是三边距离相等，
∴CM是∠PCQ的平分线，
∴PC=CQ，
∴2a=4，
∴a=2，经检验，此时点M是△ABC的内心，
∴满足条件的a的值为2．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

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