Question

【题目】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．

①依题意补全图2；

②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）∠DBE=.；（2）①补全图形如图见解析；②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB - EA =EC. 证明见解析.

【解析】

(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=.根据三角形的内角和即可求出∠DBE=∠CAD=.

（2）①根据题目要求作图即可.

②过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到∠CAF =∠CBE，证明△ACF≌△BCE.根据全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE.根据等腰直角三角形的性质有EF=EC.则有 AF -EA =EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系.

（1）解: 依题意，∠CAB=45°，

∵∠BAD=α，

∴∠CAD=.

∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=.

（2）解：

①补全图形如图

②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB - EA =EC.

证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF=∠BCE.

∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，

∴△ACF≌△BCE.

∴AF=BE，CF=CE.

∵∠ECF=90°，

∴EF=EC.

即AF -EA =EC.

∴EB -EA =EC.