Question

【题目】如图，已知是⊙O的直径，，点在⊙O的半径上运动， ，垂足为，，为⊙O的切线，切点为．

（1）如图1，当点运动到点时，求的长；

（2）如图2，当点运动到点时，连接、，求证：∥；

（3）如图3，设，，求y与x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）见解析；（3），6

【解析】

（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；
（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP=∠B，从而证出结论；
（3）连接PO，由勾股定理可得PO=，再由勾股定理可得出PT =，从而得出y与x之间的关系式y=，进而求得y的最小值．

（1）连接OT

∵PC=10，OT=8，

∴由勾股定理得，PT===6；

（2）证明：连接OT ，

∵PT，PC为⊙O的切线，

∴OP平分劣弧AT，

∴∠POA=∠POT，

∵∠AOT=2∠B，

∴∠AOP=∠B，

∴PO∥BT

（3）连接PO，

∵AB是⊙O的直径，，

∴CO=8-x；

又∵

∴，即

∴PO=

∴y = PT ===

∴，

∴当x=8时，ymin=6