如图.在平面直角坐标系xoy中.O为原点.?ABCD的边AB在x轴上.点D在y轴上.点A的坐标为.AB=6.∠BAD=60°.点E是BC边上一点.CE=3EB.⊙P过A.O.D三点.抛物线y=ax2+bx+c过点A.B.D三点．(1)求抛物线的解析式,(2)求证:DE是⊙P的切线,(3)若将△CDE绕点D顺时针旋转90°.点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由,(4)若点M为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，?ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（-2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax²+bx+c过点A、B、D三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：DE是⊙P的切线；
（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax²+bx+c上吗？请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先确定出点B的坐标，进而求出点D的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出CE=3，利用两边对应成比例，夹角相等判断出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，结论得证；
（3）先利用旋转求出点E'的坐标，最后判定点E'是否在抛物线上；
（4）分三种情况，利用线段的中点坐标公式，和平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．

解答解：（1）∵A（-2，0），AB=6，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵DO⊥AB，∠BAD=60°，
∴OD=OAtan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，D；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）A（-2，0），
∴OA=2，
在Rt△AOD中，∠BAD=60°，
∴OD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，
∵CE=3EB，
∴CE=3，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{CE}{CD}$，∵∠OAD=∠C，
∴△OAD∽△ECD，
∴∠ODA=∠EDC，
∵∠ODC=90°，
∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，
∵点D在⊙P上，
∴DE是⊙P的切线；

（3）点E'不在抛物线上，理由：如图1，
∵∠ADE=90°，
∴点E'落在DA的延长线上，点C'落在y轴上，
∴C'（0，-6），
由旋转知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，
过点E'作E'H⊥DC'于H，
∴E'H=C'E'sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，C'H=C'E'cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴OH=DC'-C'H-OD=$\frac{9}{2}-2\sqrt{3}$，
∵点E'落在第三象限，
∴E'（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$），
当x=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）+2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{9}{4}$≠2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{4}$，
∴点E'不在抛物线上；

（4）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
∴M（1，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），
∵B（4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
设N（m，n），
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
①当BD与MN是对角线时，
∴$\frac{1}{2}$（m+1）=$\frac{1}{2}$×4，$\frac{1}{2}$（n+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$，
∴m=3，n=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴N₁（3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
②当BM与DN是对角线时，同①的方法得，N₂（5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
③当BN与DM是对角线时，同①的方法得，N₃（-3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判断和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，旋转的旋转，解（1）的关键是求出点D的坐标，解（2）的关键是判断出△OAD∽△ECD，解（3）的关键是利用旋转确定出点E'的坐标，解（4）的关键是分类讨论的思想解决问题．

练习册系列答案

新编牛津英语系列答案

新课标快乐提优暑假作业西北工业大学出版社系列答案

河南各地名校期末试卷精选系列答案

优等生练考卷单元期末冲刺100分系列答案

花山小状元课时练初中生100全优卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．计算
（1）$\root{3}{8}$+$\sqrt{（-2）^{2}}$+|1-$\sqrt{2}$|
（2）$\sqrt{81}$+$\root{3}{-27}$+$\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

18．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．
（1）求证：△DFE是等腰直角三角形；
（2）当点E运动到何处时，四边形CEDF为正方形；并加以证明．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

15．如图，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．