Question

若对任意实数x，f（x）=

1

(a2-a-2)x2+(a-2)x+1

总有意义，求实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题,分类讨论

分析：f（x）总有意义，即分母不为0．分类讨论：当a²-a-2=0，即（a-2）（a+1）=0，解得a=2或1．通过分析可得a=2满足条件；当a²-a-2≠0，关于x的一元二次方程（a²-a-2）x²+（a-2）x+1=0无实数根时满足条件，即△=（a-2）²-4（a²-a-2）=-3a²+12＜0，解不等式，然后综合得到实数a的取值范围．

解答：解：①当a²-a-2=0，即（a-2）（a+1）=0，
∴a=2或-1，
当a=2，分母为1，满足条件；当a=-1，分母为-3x+1，则x=

1

3

时分母为0，不满足条件；
（2）当a²-a-2≠0，即a≠2且a≠-1，
当关于x的一元二次方程（a²-a-2）x²+（a-2）x+1=0无实数根时满足条件，
∴△=（a-2）²-4（a²-a-2）=-3a²+12＜0，即a²＞4，解得a＜-2或a＞2．
综上所述，实数a的取值范围为a＜-2或a≥2．
故答案为a＜-2或a≥2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类讨论思想的运用和分式有意义的条件．