Question

15．如图，线段AB的长为10cm，点D在AB上，△ACD为等边三角形，过点D作DP⊥CD，点G是DP上不与点D重合的一动点，作矩形CDGH．记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OA、OB，
（1）∠OAB=30度；
（2）线段BO的最小值为5cm．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30°；
（2）如图2，点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=$\frac{1}{2}$CG，OD=$\frac{1}{2}$DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵OA=OA，
∴△ACO≌△ADO，
∴∠OAB=∠CAO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
故答案为：30；
（2）如图2，由（1）可知：点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
即OB的最小值为5cm，
故答案为：5．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题．