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已知a、b均为整数,直线y=ax+b与三条抛物线y=x2+3,y=x2+6x+7和y=x2+4x+5交点的个数分别是2,1,0,若bx2+ay2=6x,求x2+y2的最大值.
分析:把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程,然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程,把方程变形可得4b=-(a2-12a+8),分别代入不等式组成关于a的不等式组,求解得到a的取值范围,再根据a、b是整数求出a、b的值,代入bx2+ay2=6x并用x表示出y2,再根据非负数的性质求出x的取值范围,再把x2+y2写成关于x的代数式,根据二次函数的增减性求出最大值即可.
解答:解:根据题意得,x2+3=ax+b,
x2+6x+7=ax+b,
x2+4x+5=ax+b,
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2,1,0,
∴△1=a2-4×1×(3-b)=a2+4b-12>0①,
2=(6-a)2-4×1×(7-b)=a2-12a+4b+8=0②,
3=(4-a)2-4×1×(5-b)=a2-8a+4b-4<0③,
由②得,4b=-(a2-12a+8)④,
④分别代入①、③得,
a2-(a2-12a+8) -12>0
a2-8a-4-(a2-12a+8)-4<0

整理得
12a>20
4a<12

解得
5
3
<a<3,
∵a是整数,
∴a=2,
∴4b=-(22-12×2+8)=12,
解得b=3,
∴3x2+2y2=6x,
整理得,y2=
6x-3x2
2
≥0,
∴6x-3x2≥0,
整理得,3x(x-2)≤0,
x≥0
x-2≤0
x≤0
x-2≥0
(无解),
解得0≤x≤2,
设Z=x2+y2
=x2+
6x-3x2
2

=-
1
2
x2+3x,
=-
1
2
(x-3)2+
9
2

∴当x≤3时,函数值Z随x的增大而增大,
当x=2时,Z最大值=-
1
2
(2-3)2+
9
2
=4,
即当x=2时,x2+y2的最大值为4.
点评:本题综合考查了二次函数的性质,根与系数的关系,非负数的性质,二次函数的最值问题,求出a、b的值并把x2+y2的整理成Z关于x的二次函数的形式是解题的关键.
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a
b
=
29
5
或-11
29
5
或-11

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