Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，已知，，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作的角平分线交边CD于点N.则线段MN的最小值为_______________

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AM、AN，由翻折可得：，然后根据，故当A、M、N三点共线时，MN取得最小值，此时，故当AN取得最小值时，MN最小，根据勾股定理可得：当DN最小时，AN最小,根据相似三角形的判定可得：，列出比例式，设，，得出CN与x的二次函数的关系式，即可求出CN的最大值，从而求出DN的最小值，即可得出AN的最小值，从而求出线段MN的最小值.

解：连接AM、AN

由翻折可得：

∴

当A、M、N三点共线时，MN取得最小值

即

∴当AN取得最小值时，MN最小

又∵

∴当DN最小时，AN最小

由翻折可得：

又∵PN平分

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

设，

∴

∴

∴ 当时，

∴

∴

∴

故答案为：.