【题目】如图,△ABC与△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接BE,将BE绕点B顺时针旋转90°,得BF,连接AD,BD,AF
(1)如图①,D、E分别在AC,BC边上,求证:四边形ADBF为平行四边形;
(2)△DEC绕点C逆时针旋转,其它条件不变,如图②,(1)的结论是否成立?说明理由.
(3)在图①中,将△DEC绕点C逆时针旋转一周,其它条件不变,问:旋转角为多少度时.四边形ADBF为菱形?直接写出旋转角的度数.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)旋转角为135°或315°时,四边形ADBF为菱形,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)先根据△ABC与△DEC均为等腰直角三角形,以及旋转的性质,得出AD=BE,AD∥BF,进而得到四边形为平行四边形;
(2)先延长BE交AD于G,交AC于O,根据△ABC与△DEC均为等腰直角三角形,判定△ACD≌△BCE(SAS),得出AD=BE,∠CAD=∠CBE,再根据“8字形”得出∠AGE=90°,判定AD∥BF,即可得出四边形为平行四边形;
(3)分两种情况讨论:当旋转角时,当旋转角为时,分别判定△ACD≌△BCD,得到 再根据四边形为平行四边形,得出四边形为菱形.
试题解析:(1)如图1,∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形,
∴AC-DC=BC-EC,
∴AD=BE,
∵将BE绕点B顺时针旋转90°得BF,
∴BE=BF,
∴AD=BF,
又∵∠ACB=90°,∠CBF=90°,
∴∠C+∠CBF=180°,
∴AD∥BF,
∴四边形ADBF为平行四边形;
(2)如图2,(1)中的结论仍成立.
理由:延长BE交AD于G,交AC于O,
∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴DC=EC,AC=BC,∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠CAD=∠CBE,
又∵BE=BF,∠ACB=90°,∠AOG=∠BOC,
∴AD=BF,∠AGE=90°,
∠AGB+∠EBF=180°,
∴AD∥BF,
∴四边形ADBF为平行四边形;
(3)旋转角为135°或315°时,四边形ADBF为菱形.
理由:如图所示,当旋转角∠BCE=135°时,∠ACE=45°,此时∠BCD=135°,
∴∠ACD=∠BCD,
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴AD=BD,
又∵四边形ADBF为平行四边形,
∴四边形ADBF为菱形;
如图所示,当旋转角为315°时,∠BCE=45°,此时∠BCD=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCD,
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴AD=BD,
又∵四边形ADBF为平行四边形,
∴四边形ADBF为菱形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=--x+8与x轴,y轴分别交于点A,点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长和点C的坐标;
(2)求直线CD的表达式.
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【题目】如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶( )分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.
A.60
B.30
C.15
D.45
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【题目】为了解某地区5000名九年级学生体育成绩状况,随机抽取了若干名学生进行测试,将成绩按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,一共抽取了______名学生;
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)请估计该地区九年级学生体育成绩为B级的人数.
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【题目】如图,已知在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB∥CD,AB=CD=8cm,AD=BC=6cm,D点与原点重合,坐标为(0,0)
(1)写出点B的坐标;
(2)动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动,动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t,当t为何值时,PQ∥BC;
(3)在Q的运行过程中,当Q运动到什么位置时,使△ADQ的面积为9,求此时Q点的坐标.
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【题目】列方程或方程组解应用题:
为响应市政府“绿色出行”的号召,小张上班由自驾车改为骑公共自行车.已知小张家距上班地点10千米.他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米,他从家出发到上班地点,骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍.小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
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【题目】(题文)直角三角形有一个非常重要的性质质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,比如:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点,则CD=AD=BD=-AB.请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题:
在△ABC中,直线绕顶点A旋转.
(1)如图2,若点P为BC边的中点,点B、P在直线的异侧,BM⊥直线于点M,CN⊥直线于点N,连接PM、PN.求证:PM=PN;
(2)如图3,若点B、P在直线的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图4,∠BAC=90°,直线旋转到与BC垂直的位置,E为AB上一点且AE=AC,EN⊥于N,连接EC,取EC中点P,连接PM、PN,求证:PM⊥PN.
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【题目】下列结论:
①若a+b+c=0,且abc≠0,则;
②若a+b+c=0,且a≠0,则x=1一定是方程ax+b+c=0的解;
③若a+b+c=0,且abc≠0,则abc>0;
④若|a|>|b|,则>0.
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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