Question

【题目】如图1，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．

（1）求证：△CDE≌△ABE

（2）求E点坐标；

（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△POA的面积等于△ACE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）E（5，4）；（3）存在，满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，），理由见解析

【解析】

（1）用角角边定理即可证明．
（2）设CE=AE=n，则BE=8-n，利用勾股定理即可求解．
（3）构建方程确定点P的纵坐标即可解决问题．

解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形，

∴AB＝OC，∠B＝∠AOC＝90°，

∴CD＝OC＝AB，∠D＝∠AOC＝∠B，

又∠CED＝∠ABE，

∴△CDE≌△ABE（AAS），

∴CE＝AE；

（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．

∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，

可得（8﹣n）2+42＝n2，

解得：n＝5，

∴E（5，4）；

（3）∵S△ACE＝CEAB＝×5×4＝10，

∴S△POA＝OAyP＝10，

∴×8×yP＝10，

∴yP＝，

∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．