【题目】如图1,长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,B点坐标是(8,4),将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC,AD与BC相交于点E.
(1)求证:△CDE≌△ABE
(2)求E点坐标;
(3)如图2,动点P从点A出发,沿着折线A→B→C→O运动(到点O停止),是否存在点P,使得△POA的面积等于△ACE的面积,若存在,直接写出点P坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)E(5,4);(3)存在,满足条件的点P的坐标为(8,)或(0,),理由见解析
【解析】
(1)用角角边定理即可证明.
(2)设CE=AE=n,则BE=8-n,利用勾股定理即可求解.
(3)构建方程确定点P的纵坐标即可解决问题.
解:(1)证明:∵四边形OABC为矩形,
∴AB=OC,∠B=∠AOC=90°,
∴CD=OC=AB,∠D=∠AOC=∠B,
又∠CED=∠ABE,
∴△CDE≌△ABE(AAS),
∴CE=AE;
(2)∵B(8,4),即AB=4,BC=8.
∴设CE=AE=n,则BE=8﹣n,
可得(8﹣n)2+42=n2,
解得:n=5,
∴E(5,4);
(3)∵S△ACE=CEAB=×5×4=10,
∴S△POA=OAyP=10,
∴×8×yP=10,
∴yP=,
∴满足条件的点P的坐标为(8,)或(0,).
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【题目】如图1,已知为正方形的中心,分别延长到点, 到点,使, ,连结,将△绕点逆时针旋转角得到△(如图2).连结、.
(Ⅰ)探究与的数量关系,并给予证明;
(Ⅱ)当, 时,求:
①的度数;
②的长度.
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【题目】如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,并证明;
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC 中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点 E.
(1)求证:DE=CE.
(2)若∠CDE=35°,求∠A 的度数.
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【题目】△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1,然后以点A1为位似中心将△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A1B2C2,如果△ABC上的点P的坐标为(a,b),那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为 ( )
A. (a+3,b+2) B. (a+2,b+3)
C. (2a+6,2b+4) D. (2a+4,2b+6)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点均在格点上,点A、B、C的坐标分别是A(﹣8,4)、B(﹣7,7)、C(﹣2,2).
(1)在这个坐标系内画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知和都是等腰直角三角形,,点是的中点,连接,.
(1)当点,分别在和上时,如图1,试猜想线段和的数量关系,请直接写出你得到的结论(不要求证明);
(2)将绕点逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于,小于或等于),如图2,请问:(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
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【题目】台州某校七(1)班同学分三组进行数学活动,对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查,并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据.
根据以上信息,请回答下列问题:
(1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少?
(2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图;
(3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时(结果保留一位小数)?
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