Question

已知：如图，△ABC与△CED都是等腰直角三角形，A、C、D三点在同一条直线上，连接BD、AE并延长BE交BD于F点，请说明BD与AE的关系并写出证明过程．

Answer 1

分析：推出∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，根据SAS证△ACE≌△BCD，推出BD=AE，∠EAC=∠CBD，∠BDC=∠AEC，推出∠DBC+∠BEF=90°，求出∠BFE的度数即可．

解答：BD与AE的关系是AE⊥BD，AE=BD，
证明：∵△ABC与△CED都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
在△ACE和△BCD中

CE=CD ∠BCD=∠ACE AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，∠EAC=∠CBD，∠BDC=∠AEC，
∵∠BEF=∠AEC，∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠BEF=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD，
即AE⊥BD，AE=BD．

点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是证出△ACE≌△BCD，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．