Question

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE=

16

3

，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程求得OA，OB的长，再根据三角函数的定义求得三角函数值即可；
（2）根据三角形的面积公式可求得OE的长，因为没有指明点E在x轴的左侧还是右侧所以点E的坐标有两种可能；根据有一组角相等且其两边对应成比例的三角形相似可判定△AOE∽△DAO．

解答：解：（1）解方程：x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4（1分）
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB=5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

（4分）

（2）①∵S_△AOE=

16

3

∴

1

2

OA•OE=

16

3

∴OE=

8

3

（5分）
∴点E的坐标为（-

8

3

，0）或（

8

3

，0）（6分）

②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵

OE

OA

=

2

3

，

OA

AD

=

2

3

∴

OE

OA

=

OA

AD

∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用．