Question

如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP=3PC，Q是CD的中点，
（1）求证：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB=10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可表示出PC，DQ，CQ，AD的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．
（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知不难求得BM，QN的长．

解答：证明：（1）∵正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中点
∴PC=

1

4

-BC，CQ=DQ=

1

2

CD，且BC=CD=AD
∴PC：DQ=CQ：AD=1：2
∵∠PCQ=∠ADQ=90°
∴△PCQ∽△ADQ

（2）∵△BMP∽△AMD
∴BM：DM=BP：AD=3：4
∵AB=10，
∴BD=10

2

，
∴BM=

30

7

2

同理QN=

5

3

5

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．