Question

10．（1）如图1，△ABC中，点D在AB边上，AD=CD，点E在CD上，∠ABC+∠AEC=180°．图1中是否存在与BC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，△ABC中，点D、点P分别在BA、CA延长线上，AD=PD，点E在PD上，AE=kBC，∠ABC+∠AEP=180°，∠BAC=α，AB=m，AC=n．求PE的长（用含有m、n、k、α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）在BD上取点G，使CG=CD，则∠1=∠2，得出∠3=∠4，AD=CG，由平角的定义和已知条件得出∠AED=∠B，由AAS证明△ADE≌△CGB，得出对应边相等即可．
（2）如图2中，由此PF到H，使得AH=AE，作AF⊥PH于H．由△ABC∽△PHA，得$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PH}{AB}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{AE}{BC}$=k，即$\frac{AP}{n}$=$\frac{PH}{m}$=k，推出AP=km，PH=kn，在Rt△APF中，因为∠AFP=90°，∠P=α，PA=km，可得PF=PA•cosα，FH=EF=PH-PF=kn-kmcosα，EH=2kn-2kmcosα，根据PE=PH-EH即可解决问题．

解答 解：（1）存在，AE=BC；理由如下：
如图1中，在BD上取点G，使CG=CD．

则∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AD=CD，
∴AD=CG，
∵∠ABC+∠AEC=180°，∠AED+∠AEC=180°，
∴∠AED=∠B，
在△ADE和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠B}\\{∠ADE=∠CGB}\\{AD=CG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGB（AAS），
∴AE=BC．

（2）如图2中，由此PF到H，使得AH=AE，作AF⊥PH于H．

∵AE=AH，
∴∠H=∠AEH，
∵∠AEH+∠AEP=180°，∠AEP+∠B=180°，
∴∠H=∠B，
∵DA=DP，
∴∠P=∠DAP=∠CAB，
∴△ABC∽△PHA，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PH}{AB}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{AE}{BC}$=k，
∴$\frac{AP}{n}$=$\frac{PH}{m}$=k，
∴AP=km，PH=kn，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，∠P=α，PA=km，
∴PF=PA•cosα，FH=EF=PH-PF=kn-kmcosα，
∴EH=2kn-2kmcosα，
∴PE=PH-EH=kn-（2kn-2kmcosα）=2kmcosα-kn．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．