Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，有一内角为60°，M为CD边上的中点，P为对角线AC上的动点，则PD+PM的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由于菱形ABCD的一内角为60°，可假设∠DCB=∠DAB=60°，则∠ADC=∠ABC=120°，连接BD、BM由菱形的性质可知，AC是BD的垂直平分线，即点B是点D关于直线AC的对称点，故BM即为PD+PM的最小值，再由等边三角形的判定定理可得出△BDC是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出BM的长．

解答：解：∵菱形ABCD的一内角为60°，
∴设∠DCB=∠DAB=60°，则∠ADC=∠ABC=120°，
连接BD、BM，则AC是BD的垂直平分线，即点B是点D关于直线AC的对称点，
∴BM即为PD+PM的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵M为CD边上的中点，
∴BM⊥DC，
∵DC=BC=6，
∴CM=

1

2

DC=

1

2

×6=3，
在Rt△BMC中，BM=

BC2-CM2

=

62-32

=3

3

．
故答案为：3

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．