Question

19．已知：抛物线y=ax²-2（a-1）x+a-2（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂）．若y是关于a的函数，且y=ax₂+x₁，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y＜-3a²+1，则自变量a的取值范围为0＜a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的方程ax²-2（a-1）x+a-2=0的判别式符号来证明即可；
（2）利用求根公式解方程得x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，于是得到y=a-1（a＞0）；
（3）利用图象法解决问题：先画出直线y=a-1和抛物线y=-3a²+1的图象，如图，通过解方程得到a-1=-3a²+1可得到直线y=a-1和抛物线y=-3a²+1的图象的交点坐标为（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），然后观察函数图形得到当-1≤a≤$\frac{2}{3}$时，a-1≤-3a²+1，由于a＞0，于是得到a的取值范围为0＜a≤$\frac{2}{3}$．

解答 （1）证明：ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0），
则△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4．
即△＞0．
∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）解：解方程得x=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$，
∴x=1或x=1-$\frac{2}{a}$，
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=a（1-$\frac{2}{a}$）+1=a-1（a＞0）；

（3）解：画出直线y=a-1和抛物线y=-3a²+1的图象，如图，
解方程得到a-1=-3a²+1得a=-1或a=$\frac{2}{3}$，
即直线y=a-1和抛物线y=-3a²+1的图象的交点坐标为（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
当-1≤a≤$\frac{2}{3}$时，a-1≤-3a²+1，
而a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案为：0＜a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．解决（3）小题的关键是求出直线与抛物线的交点坐标．