Question

如图15.1，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON = 3.

(1)求抛物线C的解析式；

(2)将抛物线C绕原点O旋转180º得到抛物线C’，抛物线C’与x轴的另一交点为A，B为抛物线C’上横向坐标为2的点. www.12999.com

①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线 O –B -A于点E₁、F₁，再分别以线段EE₁、FF₁为边作如图15.2所示的等边△EE₁E₂、等边△FF₁F₂,点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动，当△EE₁E₂有一边与△FF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值.

Answer 1

解：（1）对称轴MN的解析式为x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），

令抛物线C的解析式为y=a(x+3)2-9，它经过原点，则0=a(0+3)2-9, a=1,

y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以抛物线C的解析式为y=x2+6x；

（2）①抛物线C’的解析式为

y=- x2+6x，当y=0时，x=0或6，点A的坐标为（6，0）， 点B在抛物线C’上，且其横坐标为2，y=8,有点B（2，8），直线AB的解析式为

y=-2x +12 ,点P在线段AB上，令点P的坐标为（p,-2p+12）,

 S△APD = 12p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,当p=3（2<3<8）时，

S△APD 的max值为9；

② 据（2）①知，直线OB解析式为y=4x,

直线AB解析式为y=-2x +12；

如图15.3, ∵EE1//FF1, △EE1E2、△FF1F2是等边三角形，∴E1E2//FF2，EE2//F1F2，

直线EE1的解析式为x=t,直线FF1的解析式为x=6-t,令E1 (t,y)则有E（t,0）、

E2 (t+ 32,y2)，设直线EE2的解析式为

y=33x + a,直线F1F2的解析式为y= 33x + b,直线E1E2的解析式

为y=- 33x + c,直线FF2的解析式为y=- 33x + d，

Ⅰ、当EE1与FF1在同一直线上时，x=t=6-t，t=3 ；

Ⅱ、当0≤t≤2时，点E1在直线OB上，点F1在直线AB上，有E（t,0）、E1 (t,4t)、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）

(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0 = 33t + a，a=- 33t,

2t= 33(6-t) + b, b= (2+ 33)t-23, a=b, - 33t=(2+ 33)t-23,

t= 32；新 课 标 第 一 网

(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有4t=- 33t + c，c=(4+ 33)t,

0=- 33(6-t) + d, d=23- 33t, c=d, (4+ 33)t = 2 3- 33t,

t= 311；

通过作图观察可知，当2<t≤6时，EE1与FF1不可能在同一直线上，E1E2与FF2也不可能在同一直线上。

综上所述，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时，t的值为3，32或 311.