Question

8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC于点H，DM=DN．
（1）在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP，求证：DP=DM；
（2）若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD是∠BAC的平分线，得到∠DAP=∠DAN，推出△APD≌△AND，得到PD=ND，等量代换即可得到结论；
（2）过D作DG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到DH=DG，证得R_t△DHN≌R_t△DPG，由已知条件得到△DPM的面积等于20，根据等腰三角形的性质得到PG=$\frac{1}{2}$PM，于是得到结果．

解答 解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAP=∠DAN，
在△APD与△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AN}\\{∠PAD=∠NAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AND，
∴PD=ND，
∵DM=DN，
∴DP=DM，

（2）过D作DG⊥AB于G，
∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC，
∴DH=DG，
在R_t△DHN与R_t△DPG中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DG}\\{DN=DP}\end{array}\right.$，
∴R_t△DHN≌R_t△DPG，
∵△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，
∴△DPM的面积等于20，
∵DP=DM，DG⊥PM，
∴PG=$\frac{1}{2}$PM，
∴△DHN的面积=△DPG的面积=$\frac{1}{2}$△DPM的面积=10．

点评 本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．