Question

已知m是不等式组

2m-1≥0 4-3m＞0

的整数解，a、b是关于x的方程x²-mx-m=0的两个实根．  
求：（1）a³+b³的值；  
（2）a⁴+3b的值．

Answer 1

分析：先解不等式组，求出m，再把m的值代入方程可得x²-x-1=0，利用根与系数的关系可得，a+b=1，ab=-1，利用立方公式、整体代入可求a³+b³的值；
由于a是方程的解，那么a²-a-1=0，易得a²=a+1，再把a²=a+1整体代入a⁴+3b中，结合a+b=5，易求值．

解答：解：由不等式解得

1

2

≤m＜

4

3

，
∵m为整数，
∴m=1，
方程x²-x-1=0的两根为a，b，
（1）由根与系数关系

a+b=1 ab=-1

，
∴a³+b³=（a+b）³-3ab（a+b）=4，
（2）由于a，b是方程的两根，因此有：a²-a-1=0，即a²=a+1，
∴a⁴=（a+1）²=a²+2a+1=（a+1）+2a+1=3a+2，
原式=3a+2+3b=3（a+b）+2=5．

点评：本题考查了根与系数的关系、解不等式组，解题的关键是先求出m，得出具体方程．