Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．

（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；

（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；

（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）函数的对称轴x＝2；（2）D（2，﹣8）或（2，4）；（3）存在，Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．

【解析】

（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）分∠BCD=90°、∠DBC=90°两种情况，分别求解即可；

（3）分CE为菱形的一条边、CE为菱形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，

令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），

则函数的对称轴x＝2；

（2）①当∠BCD＝90°时，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：

直线BC的表达式为：y＝x﹣6，

则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，

当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；

②当∠DBC＝90°时，

同理可得点D（2，4），

故点D（2，﹣8）或（2，4）；

（3）①当CE为菱形的一条边时，

则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），

则n＝m2﹣2m﹣6…①，

由题意得：CP＝PQ，

即m＝m﹣6﹣n…②，

联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，

则点Q（6﹣2，4﹣8）；

②当CE为菱形的对角线时，

则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，

设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），

其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，

则PC＝﹣m，

CQ2＝s2+m2，

由题意得：CQ＝CP，

即：（﹣m）2＝s2+m2…④，

联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），

故点（2，﹣8）；

综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．