分析 (1)由题意得出方程t+2t=2(5+10),解方程即可解得t=10;
(2)①由矩形ABCD的中心对称性得出AQ=CP,即10-t=2t-5,解方程即可;
②由①得:P、Q在点A处相遇,由平行四边形的判定和题意得出点P应在BC上,分两种情况:
(A)当点P在点E的右侧时,得出AQ=EP,得出方程,解方程即可;
(B)当点P在点E的左侧时,得出AQ=PE,得出方程,解方程即可.
解答 解:(1)由题意得:t+2t=2(5+10),
解得:t=10,
∴P、Q从出发到相遇所用的时间为10s;
(2)①成立;理由如下:
∵矩形ABCD是中心对称图形,
若线段PQ经过对称中心O,则AQ=CP,
即10-t=2t-5,
解得:t=5,
∴当t=5s时,线段PQ经过矩形ABCD的对称中心;
②成立:理由如下:
由①得:P、Q在点A处相遇,
∵AD∥BC,
∴以A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,
则点P应在AB或BC或CD上,Q在AD上,
而点P在AB或CD上时均不能构成平行四边形,
∴点P应在BC上,分两种情况:
(A)当点P在点E的右侧时,为平行四边形AEPQ,
此时应有AQ=EP,
即10-t=(10-3)+5-2t,
解得:t=2,
∵点P应在BC上,
∴t>$\frac{5}{2}$,
∴t=2<$\frac{5}{2}$,不合题意,舍去;
(B)当点P在点E的左侧时,为平行四边形APEQ,
此时应有AQ=PE,
即10-t=2t-(10-3)-5,
解得:t=$\frac{22}{3}$,
∵点P在点E的左侧,且点P应在BC上,
∴6<t<$\frac{15}{2}$,
而6<$\frac{22}{3}$<$\frac{15}{2}$,
∴t=$\frac{22}{3}$时,符合题意,
综上所述,当t=$\frac{22}{5}$s时,四边形APEQ为平行四边形.
点评 本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、平行四边形的判定、解方程等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)②需要进行分类讨论才能得出结果.
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