Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．

（1）P的坐标　 　，C的坐标　 　；

（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）

【解析】

（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，

∴顶点P（3，4），

令x＝0得到y＝﹣5，

∴C（0，﹣5）．

故答案为：（3，4），（0，﹣5）；

（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，

解得：x＝1或x＝5，

∴A（1，0），B（5，0），

设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有，

解得：，

∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，

设直线交x轴于D，则D（，0），

设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，

∵AD＝，

∴BE＝，

∴E（，0）或E′（，0），

则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，

∴Q（，﹣5），

直线PE′的解析式为y＝﹣x+，

∴Q′（，﹣5），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）；