Question

如图，已知：AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．
（1）猜想AD与OC的位置关系，并加以证明；
（2）设AD•OC的积为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系；
（3）当r=2，sin∠E=

1

3

时，求AD和OC的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由切线长定理可证得∠COD=∠COB，由圆周角定理得到∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）=∠COB，再由同位角相等，两直线平行得AD∥OC；
（2）连接BD，可证得Rt△ABD∽Rt△OCB?

AD

OB

=

AB

OC

，S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，即S=2r²；
（3）在Rt△OED中，

OD

OE

=sin∠E=

1

3

?OE=3OD，OA=OD?AE=2OA，由AD∥OC?

AD

OC

=

AE

OE

?AD=

2

3

OC又∵AD•OC=2r²=8，由此得到关于AD，OC的方程组，解之即可求出OC，AD的值．

解答：解：（1）猜想：AD∥OC，
证明：连接OD，
∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，
∴CB=CD，∠CDO=∠CBO=90°，
∠OCB=∠OCD，
∴∠COD=∠COB；
又∵∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）
∴∠DAB=∠COB，
∴AD∥OC．

（2）连接BD．
在△ABD和△OCB中，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∵∠COB=∠BAD
∴Rt△ABD∽Rt△OCB，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，
S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，
即S=2r²；

（3）在Rt△OED中，
∵∠ODE=90°，sin∠E=

1

3

，
∴

OD

OE

=sin∠E=

1

3

，
∴OE=3OD．
∵OA=OD，
∴AE=2OA；
∵AD∥OC，
∴

AD

OC

=

AE

OE

，
∴AD=

2

3

OC，
又∵AD•OC=2r²=8，AD＞0，OC＞0，
∴

AD•OC=8 AD= 2 3 OC

，
解之，得OC=2

3

，AD=

4

3

3

．
即AD，OC的值分别为

4

3

3

，2

3

．

点评：本题利用了切线长定理，切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角相似三角形的判定和性质，正弦的概念，平行线的判定和性质等知识求解，综合性比较强．