Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（-1，0），B（0，

3

），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）如图，一抛物线经过点A，B，B′，求该抛物线解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知A，B，C三点的坐标，就可以得到OB的长，而OB′=OB=

3

，因而B′的坐标就可以得到是（

3

，0），已知A，B，B′的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（2）S_{四边形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′，△OAB的面积是一个定值，不变，OB，OB′的长度可以求出，△BAO的边OB上的高是P点的横坐标，而△POB′，OB′边上的高是P的纵坐标，设P（x，y），则△BAO和△POB′的面积都可以用x，y表示出来，从而得到函数解析式．使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标，就是求函数的最值问题，可以根据函数的性质得到．

解答：解：（1）∵抛物线过A（-1，0），B′（

3

，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-

3

）（a≠0）
又∵抛物线过B（0，

3

），
∴将坐标代入上解析式得

3

=a×（-

3

）
即a=-1
∴y=-（x+1）（x-

3

）
即满足件的抛物线解析式为y=-x²+（

3

-1）x+

3

．

（2）（解法一）：如图1
∵P为第一象限内抛物线上一动点
设P（x，y）则x＞0，y＞0
P点坐标满足y=-x²+（

3

-1）x+

3

连接PB，PO，PB′
∴S_{四边形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′
=

3

2

+

3

2

x+

3

2

y=

3

2

（x+y+1）
=

3

2

[x-x²+（

3

-1）x+

3

+1]=

3

2

[-（x-

3

2

）²+

7+4 3

4

]
当x=

3

2

时，S_{四边形PBAB′}最大，
此时，y=

3+2 3

4

．即当动点P的坐标为（

3

2

，

3+2 3

4

）时，
S_{四边形PBAB′}最大，最大面积为

12+7 3

8

．
（解法二）：如图2，连接BB′
∵P为第一象限内抛物线上一动点
∴S_{四边形PBAB′}=S_△ABB′+S_△PBB′，且△ABB′的面积为定值
∴S_{四边形PBAB′}最大时S_△PBB′必须最大
∵BB′长度为定值
∴S_△PBB′最大时点P到BB′的距离最大
即将直线BB′向上平移到与抛物线有唯一交点时，
P到BB′的距离最大．
设与直线BB′平行的直线l的解析式为y=-x+m
联立

y=-x+m y=-x2+( 3 -1)x+ 3

得x²-

3

x+m-

3

=0
令△=（

3

）²-4（m-

3

）=0
解得m=

3

4

+

3

此时直线l的解析式为y=-x+

3

4

+

3

∵

y=-x+ 3 4 + 3 y=-x2+( 3 -1)x+ 3

解得

x= 3 2 y= 3+2 3 4

∴直线l与抛物线唯一交点坐标为P（

3

2

，

3+2 3

4

）
设l与y轴交于E，则BE=

3

4

+

3

-

3

=

3

4

过B作BF⊥l于F
在Rt△BEF中，∠FEB=45°
∴BF=

3

4

sin45°=

3 2

8

过P作PG⊥BB′于G
则P到BB′的距离d=BF=

3 2

8

此时四边形PBAB′的面积最大
∴S_{四边形PBAB′}的最大值=

1

2

AB′•OB+

1

2

BB′•d=

1

2

（

3

+1）×

3

+

1

2

×

6

×

3 2

8

=

12+7 3

8

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数的最值，求最值问题的基本思路就转化为函数问题．