精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
14.(1)如图1,已知正方形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF、GH交于点O,∠EOH=∠C,求证:EF=GH;
(2)如图2,若将正方形ABCD改为矩形ABCD,且AD=mAB,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明.

分析 (1)如图1,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,EF和GN交于R,GN和MF交于Q,利用正方形的性质得FM=GN=AB=DA,且GN⊥FM,再利用等角的余角相等得到∠OGR=∠OFM,于是可根据“AAS”判定△GNH≌△FME,所以EF=GH;
(2)如图2,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,EF、GN交于R,GN、MF交于Q,利用矩形的性质得GN=AD,FM=AB,且GN⊥FM,与(1)一样可得到∠OGR=∠OFM,加上∠GNH=∠FME=90°,则可判断△GNH∽△FME,利用相似三角形的性质得$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$,而AD=mAB,所以GH=mEF.

解答 (1)证明:如图1,
过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,EF和GN交于R,GN和MF交于Q,
∵四边形ABCD是正方形,
∴FM=GN=AB=DA,且GN⊥FM,
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°,
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM,
在△GNH和△FME中
  $\left\{\begin{array}{l}{∠GNH=∠FME}\\{∠HGN=∠EFM}\\{GN=FM}\end{array}\right.$,
∴△GNH≌△FME,
∴EF=GH;
(2)解:GH=mEF.理由如下:
如图2,
过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,EF、GN交于R,GN、MF交于Q,
∵四边形ABCD是矩形,
∴GN=AD,FM=AB,且GN⊥FM
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM,
∵∠GNH=∠FME=90°,
∴△GNH∽△FME,
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$=m,
∴GH=mEF.

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.也考查了全等三角形的判定与性质.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.当k为何值时,关于x的方程(k-5)x-7=x-1的解是-2?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

5.(1)线段AB的长为6cm,延长线段AB到C,使得BC=2AB,取AC的中点D,画出草图并求出BD的长.
(2)直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=38°,求∠2与∠3的度数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

2.已知x=2是关于x的一元一次方程mx+2=0的解,则m的值为(  )
A.-1B.0C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.下列命题错误的是(  )
A.所有实数都可以用数轴上的点表示B.同位角相等,两直线平行
C.无理数包括正无理数、负无理数和0D.等角的补角相等

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

19.如图,在扇形铁皮AOB中,OA=20,∠AOB=36°,OB在直线l上.将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA第一次落在l上时,停止旋转.则点O所经过的路线长为(  )
A.20πB.22πC.24πD.20π+10$\sqrt{5}$-10

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

6.如图,已知梯形护坡坝AB的坡度为i=1:4,坡高BC=2m,则斜坡AB的长为2$\sqrt{17}$m.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

3.画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

4.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0的解.

查看答案和解析>>

同步练习册答案