Question

7．如图，⊙O₁经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO₁交⊙O于点Q、D，交⊙O₁于点P，交EF于点C，点A在劣弧QF上运动（与点Q、F不重合），连结PA交弧DF于B，连结BC并延长交⊙O于点G，连结PG交⊙O于点H．求证：
（1）PE是⊙O的切线；
（2）PA=PG．

Answer 1

分析 （1）连接PE、OE，如图1，要证PE是⊙O的切线，只需证∠OEP=90°，只需证OP是⊙O₁的直径即可；
（2）连接PE、OE、OG、OA、OB，如图2，要证PA=PG，只需证△OGP≌△OAP，只需证∠GOP=∠POA．易证△PCE∽△PEO，根据相似三角形的性质可得PE²=PC•PO，同理OE²=OC•OP．根据切割线定理可得PE²=PB•PA，则有PC•PO=PB•PA，由此可证到△BPC∽△OPA，则有∠PBC=∠POA．要证∠GOP=∠POA，只需证∠GOP=∠PBC，只需证∠OPB=∠OGB，由OG=OB可得∠OBC=∠OGB，只需证∠OBC=∠OPB，只需证△BOC∽△POB，只需证$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OP}{OB}$，即证OB²=OC•OP，由于OB=OE，只需证OE²=OC•OP即可．

解答 证明：（1）连接PE、OE，如图1，

∵OP是⊙O₁的直径，∴∠OEP=90°，
∴PE是⊙O的切线；

（2）连接PE、OE、OG、OA、OB，如图2，
∵OP⊥EF，∠OEP=90°，
∴∠OCE=∠ECP=∠OEP=90°．
∵∠EPC=∠OPE，
∴△PCE∽△PEO，
∴$\frac{PE}{PO}$=$\frac{PC}{PE}$，即PE²=PC•PO，
同理OE²=OC•OP．
∵PE是⊙O的切线，
∴根据切割线定理可得PE²=PB•PA，
∴PC•PO=PB•PA，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PO}$
∵∠BPC=∠OPA，
∴△BPC∽△OPA，
∴∠PBC=∠POA．
∵OE²=OC•OP，OE=OB，
∴OB²=OC•OP，即$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OP}{OB}$．
∵∠BOC=∠POB，
∴△BOC∽△POB，
∴∠OBC=∠OPB．
∵OG=OB，∴∠OBC=∠OGB，
∴∠OPB=∠OGB，
∴∠GOP=180°-∠OGB-OCG=180°-∠OPB-∠BCP=∠PBC，
∴∠GOP=∠PBC=∠POA．
在△OGP和△OAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OA}\\{∠GOP=∠AOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OGP≌△OAP，
∴PG=PA．

点评 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切割线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解决本题的关键是把证明∠GOP=∠POA转化为证明∠GOP=∠PBC=∠POA，进而把证明∠GOP=∠PBC转化为证明∠BPC=∠OGC=∠OBC．