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10.在△ABC中,点G是△ABC的重心,EF过点G,且EF∥BC交AB、AC于点E、F,那么S△AEF:S梯形EBCF的值是4:5.

分析 如图,延长AG交BC于H,利用三角形重心的性质得AG=2GH,再根据相似三角形的判定方法得到△AEF∽△ABC,然后利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{AG}{AH}$)2=$\frac{4}{9}$,则利用比例的性质可得到S△AEF:S梯形EBCF的值.

解答 解:如图,延长AG交BC于H,
∵点G是△ABC的重心,
∴AG=2GH,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{AG}{AH}$)2=($\frac{2}{3}$)2=$\frac{4}{9}$,
∴S△AEF:S梯形EBCF=4:5.
故答案为4:5.

点评 本题考查了三角形的重心:三角形的重心是三角形三边中线的交点.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 也考查了相似三角形的判定与性质.

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