问题情境:如图1.AB∥CD.∠PAB=130°.∠PCD=120°.求∠APC的度数．小明的思路是:过P作PE∥AB.通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路.易求得∠APC的度数为110度,(2)问题迁移:如图2.AB∥CD.点P在射线OM上运动.记∠PAB=α.∠PCD=β.当点P在B.D两点之间运动时.问∠APC与α.β之间有何数量关系?请说明理由,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

分析（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

解答（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；

如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．

点评本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．

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