Question

（1）如图1在△ABC中，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，若AD：DB=2：3，BC=10，求DE的长．
（2）如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接AC．若∠B=30°，AB=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）求出AD：AB的值，根据平行线得出△ADE∽△ABC，得出

DE

BC

=

AD

AB

=

2

5

，代入求出即可．
（2）求出∠ACB=90°，求出AC和BC的长，根据三角形的面积公式求出CM，根据垂径定理求出CD=2CM，代入求出即可．

解答：（1）解：∵

AD

DB

=

2

3

，
∴

AD

AB

=

2

5

，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

=

2

5

，
∵BC=10，
∴DE=4．

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=1，
由勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=

3

，
∵在Rt△ACB中，由面积公式得：

1

2

×AB×CM=

1

2

×AC×BC，
∴2×CM=1×

3

，
∴CM=

3

2

，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，
∴由垂径定理得：CD=2CM=2×

3

2

=

3

，
答：CD的长是

3

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂径定理、三角形的面积等知识点，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．