【题目】将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(﹣3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:如图,
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,6),
∴c=6.
∵抛物线的图象又经过点(﹣3,0)和(6,0),
∴ ,
解之得 ,
故此抛物线的解析式为:y=﹣ x2+x+6.
(2)解:设点P的坐标为(m,0),
则PC=6﹣m,S△ABC= BCAO= ×9×6=27;
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CAB;
∴ ,
即 =( )2,
∴S△CEP= (6﹣m)2,
∵S△APC= PCAO= (6﹣m)×6=3(6﹣m),
∴S△APE=S△APC﹣S△CEP=3(6﹣m)﹣ (6﹣m)2=﹣ (m﹣ )2+ ;
当m= 时,S△APE有最大面积为 ;
此时,点P的坐标为( ,0).
(3)
解:如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G(a,b),
连接AG、GC,
∵S梯形AOHG= a(b+6),
S△CHG= (6﹣a)b,
∴S四边形AOCG= a(b+6)+ (6﹣a)b=3(a+b).
∵S△AGC=S四边形AOCG﹣S△AOC ,
∴ =3(a+b)﹣18,
∵点G(a,b)在抛物线y=﹣ x2+x+6的图象上,
∴b=﹣ a2+a+6,
∴ =3(a﹣ a2+a+6)﹣18,
化简,得4a2﹣24a+27=0,
解之得a1= ,a2= ;
故点G的坐标为( , )或( , ).
【解析】(1)已知OA、OC的长,可得A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.(2)设出点P的横坐标,表示出CP的长,由于PE∥AB,可利用相似三角形△CPE∽△CBA,求出△APE的面积表达式,进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题,根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标.(3)由于△AGC的面积无法直接求出,可用割补法求解,过G作GH⊥x轴于H,设出G点坐标,表示出△HGC、梯形AOHG的面积,它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式,然后将(2)题所得△APE的面积最大值代入上式中,联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标.
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【题目】为了拉动内需,全国各地汽车购置税补贴活动正式开始.重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台,政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台,其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.
(1)在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8万元,自动型汽车每台价格为9万元.根据汽车补贴政策,政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%,问政策出台后的第一个月,政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元?客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车?
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【题目】根据条件画图,并回答问题:
(1)画一个锐角△ABC(三边均不相等);
(2)画出BC边上的中线AE和高AD;
(3)写出所有以AD为高的三角形。
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【题目】一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度是( )
A. 第一次向右拐40, 第二次向左拐140
B. 第一次向左拐40, 第二次向右拐40
C. 第一次向左拐40, 第二次向左拐140
D. 第一次向右拐40, 第二次向右拐40°
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【题目】某班组织班团活动,班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品,已知笔记本2元/本,中性笔1元/支,且每种奖品至少买1件.
(1)若设购买笔记本x本,中性笔y支,写出y与x之间的关系式;
(2)有多少种购买方案?请列举所有可能的结果;
(3)从上述方案中任选一种方案购买,求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. (1,﹣1) B. (﹣1,1) C. (﹣1,﹣2) D. (1,﹣2)
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【题目】如图,已知□ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点E.
(1)试说明线段CD与FA相等的理由;
(2)若使∠F=∠BCF,□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件?请你补上这个条件,并说明你的理由(不要再增添辅助线).
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【题目】一副三角板按如图所示叠放在一起,若固定,将绕着公共顶点,按顺时针方向旋转度,当的一边与的某一边平行时,相应的旋转角的度数为_________________。
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