【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).
(1)若点(﹣,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
①求抛物线的解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.
【答案】(1)2a﹣b+2=0(a≠0);(2)①y=﹣x2+2;②详见解析.
【解析】
(1)由抛物线经过点A可求出c=2,再把(﹣,0)代入抛物线的解析式,即可得2a﹣b+2=0(a≠0);
(2)①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下,进而可得出b=0,由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形,结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形,设线段BC与y轴交于点D,根据等边三角形的性质可得出点C的坐标,再利用待定系数法可求出a值,即可求得抛物线的解析式;②由①的结论可得出点M的坐标为(x1,﹣+2)、点N的坐标为(x2,﹣+2),由O、M、N三点共线可得出x2=﹣,进而可得出点N及点N′的坐标,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上,进而即可证出PA平分∠MPN.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),
∴c=2.
又∵点(﹣,0)也在该抛物线上,
∴a(﹣)2+b(﹣)+c=0,
∴2a﹣b+2=0(a≠0).
(2)①∵当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
∴x1﹣x2<0,y1﹣y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大;
同理:当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,开口向下,
∴b=0.
∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C,
∴△ABC为等腰三角形,
又∵△ABC有一个内角为60°,
∴△ABC为等边三角形.
设线段BC与y轴交于点D,则BD=CD,且∠OCD=30°,
又∵OB=OC=OA=2,
∴CD=OCcos30°=,OD=OCsin30°=1.
不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为(,﹣1).
∵点C在抛物线上,且c=2,b=0,
∴3a+2=﹣1,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2.
②证明:由①可知,点M的坐标为(x1,﹣+2),点N的坐标为(x2,﹣+2).
直线OM的解析式为y=k1x(k1≠0).
∵O、M、N三点共线,
∴x1≠0,x2≠0,且=,
∴﹣x1+=﹣x2+,
∴x1﹣x2=﹣,
∴x1x2=﹣2,即x2=﹣,
∴点N的坐标为(﹣,﹣+2).
设点N关于y轴的对称点为点N′,则点N′的坐标为(,﹣+2).
∵点P是点O关于点A的对称点,
∴OP=2OA=4,
∴点P的坐标为(0,4).
设直线PM的解析式为y=k2x+4,
∵点M的坐标为(x,﹣+2),
∴﹣+2=k2x1+4,
∴k2=﹣,
∴直线PM的解析式为y=﹣+4.
∵﹣+4==﹣+2,
∴点N′在直线PM上,
∴PA平分∠MPN.
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【题目】如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:_________;
(2)DE是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:当BC=_______时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______.
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【题目】如图 1,在△ ABC中,∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥ AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M
(1)当直线l经过点C时(如图 2),求证:NH = CH;
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是( )
A. 1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:
①∠AOB=90°+∠C;
②AE+BF=EF;
③当∠C=90°时,E,F分别是AC,BC的中点;
④若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF=ab.
其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①②④D.①③④
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【题目】定义:如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形,其中一个三角形是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等,那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”,例如:如图1,等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.
(1)判断(对的打“√”,错的打“×”)
①等边三角形存在“和谐分割线”( )
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍,则这个三角形必存在“和谐分割线”( )
(2)如图2,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,请用尺规画出“和谐分割线”,并计算“和谐分割线”的长度.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为__________;
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.
(3)利用网格纸,在MN上找一点P,使得PB+PC的距离最短.( 保留痕迹)
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【题目】某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,……设原计划每天绿化的面积为万平方米,列方程为,根据方程可知省略的部分是( )
A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了结果提前30天完成了这一任务
B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了,结果延误30天完成了这一任务
C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了,结果延误30天完成了这一任务
D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了,结果提前30天完成了这一任务
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【题目】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=4,BD=2,CD=8.
(1)求证:∠BAC=90°;
(2)P为BC边上一点,连接AP,若△ABP为等腰三角形,请求出BP的长.
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