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    如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y=
    8
    x
    、y=
    k
    x
    （x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．
    （1）求k的值．
    （2）如图2，若点A是双曲线y=
    8
    x
    上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=
    k
    x
    （x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
    （3）如图3，若点D是直线y=2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
    考点：反比例函数综合题,解分式方程,待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质
    专题：综合题
    分析：（1）先求出点P的坐标，再从条件OP=2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值．
    （2）设点A的坐标为（a，b），易得b=
    8
    a
    ，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值．
    （3）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标．
    解答：解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
    联立
    y=2x
    y=
    8
    x
    ，
    解得：
    x=2
    y=4
    或
    x=-2
    y=-4
    ．
    ∵x＞0，
    ∴点P的坐标为（2，4）．
    ∴OF=2，PF=4．
    ∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
    ∴QE∥PF．
    ∴△OEQ∽△OFP．
    ∴
    OE
    OF
    =
    EQ
    FP
    =
    OQ
    OP
    ．
    ∵OP=2OQ，
    ∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．
    ∴OE=1，EQ=2．
    ∴点Q的坐标为（1，2）．
    ∵点Q（1，2）在双曲线y=
    k
    x
    上，
    ∴k=1×2=2．
    ∴k的值为2．
    （2）如图2，
    设点A的坐标为（a，b），
    ∵点A（a，b）在双曲线y=
    8
    x
    上，
    ∴b=
    8
    a
    ．
    ∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
    ∴xC=xA=a，yB=yA=b=
    8
    a
    ．
    ∵点B、C在双曲线y=
    2
    x
    上，
    ∴xB=
    2
    8
    a
    =
    a
    4
    ，yC=
    2
    a
    ．
    ∴点B的坐标为（
    a
    4
    ，
    8
    a
    ），点C的坐标为（a，
    2
    a
    ）．
    ∴AB=a-
    a
    4
    =
    3a
    4
    ，AC=
    8
    a
    -
    2
    a
    =
    6
    a
    ．
    ∴S△ABC=
    1
    2
    AB•AC
    =
    1
    2
    ×
    3a
    4
    ×
    6
    a

    =
    9
    4
    ．
    ∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于
    9
    4
    ．
    （3）①AC为平行四边形的一边，
    Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
    ∵四边形ACBD是平行四边形，
    ∴AC∥BD，AC=BD．
    ∴xD=xB=
    a
    4
    ．
    ∴yD=2xD=
    a
    2
    ．
    ∴DB=
    a
    2
    -
    8
    a
    ．
    ∵AC=
    8
    a
    -
    2
    a
    =
    6
    a
    ，
    ∴
    6
    a
    =
    a
    2
    -
    8
    a
    ．
    解得：a=±2
    		7
    ．
    经检验：a=±2
    		7
    是该方程的解．
    ∵a＞0，
    ∴a=2
    		7
    ．
    ∴b=
    8
    a
    =
    4
    		7
    7
    ．
    ∴点A的坐标为（2
    		7
    ，
    4
    		7
    7
    ）．
    Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
    ∵四边形ACDB是平行四边形，
    ∴AC∥BD，AC=BD．
    ∴xD=xB=
    a
    4
    ．
    ∴yD=2xD=
    a
    2
    ．
    ∴DB=
    8
    a
    -
    a
    2
    ．
    ∵AC=
    6
    a
    ，
    ∴
    6
    a
    =
    8
    a
    -
    a
    2
    ，
    解得：a=±2．
    经检验：a=±2是该方程的解．
    ∵a＞0，
    ∴a=2．
    ∴b=
    8
    a
    =4．
    ∴点A的坐标为（2，4）．
    ②AC为平行四边形的对角线，
    此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥CD，AB=CD．
    ∴yD=yC=
    2
    a
    ．
    ∴xD=
    yD
    2
    =
    1
    a
    ．
    ∴CD=
    1
    a
    -a．
    ∵AB=a-
    a
    4
    =
    3a
    4
    ，
    ∴
    3a
    4
    =
    1
    a
    -a．
    解得：a=±
    2
    		7
    7
    ．
    经检验：a=±
    2
    		7
    7
    是该方程的解．
    ∵a＞0，
    ∴a=
    2
    		7
    7
    ．
    ∴b=
    8
    a
    =4
    		7
    ．
    ∴点A的坐标为（
    2
    		7
    7
    ，4
    		7
    ）．
    综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2
    		7
    ，
    4
    		7
    7
    ）或（2，4）或（
    2
    		7
    7
    ，4
    		7
    ）．
    点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点、用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．
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    x
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    如果
     
    （其中a＞0，b＞0）．
    那么
     
    （结论）．
    理由
     
    ．

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    5
    4
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    （1）求m的值及抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．
    （2）设点D（0，
    25
    12
    ），若F是抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究
    1
    M1F
    +
    1
    M2F
    是否为定值？请说明理由．
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    1
    4
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