Question

在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度α（α＜360°）后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，α为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线交点旋转90°、180°、270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°、180°、270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述规定解答下列问题：
（1）判断下列命题的真假：
①等腰梯形是旋转对称图形．
②平行四边形是旋转对称图形．
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是______（写出所有正确结论前的序号）．
①等边三角形　　　②有一个角是60°的菱形　　　③正六边形　　　④正八边形
（3）正五边形显然满足下面两个条件：
①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°．
②是轴对称图形，但不是中心对称图形．
思考：还有什么图形也同时满足上述两个条件？请说出一种．

Answer 1

解：（1）等腰梯形必须旋转360°才能与自身重合；平行四边形旋转180°可以与自身重合．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假命题）
②平行四边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真命题）

（2）①只要旋转120°的倍数即可；
②只要旋转90°的倍数即可；
③只要旋转60°的倍数即可；
④只要旋转45°的倍数即可．
故是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①、③．
故答案为：①，③；

（3）360°÷72°=5．
是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正十五边形．
分析：（1）根据旋转对称图形和中心对称图形的定义即可解答；
（2）分别求出各图形旋转的角度得出答案即可；
（3）利用①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°，②是轴对称图形，但不是中心对称图形，得出边数为奇数且中心角能整除72°，得出答案即可．
点评：此题主要考查了旋转图形的性质，根据定义，得一个正n边形只要旋转的倍数角即可．
奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．