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13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E是BC边上的两点且∠BAC=2∠DAE=2α,点D关于直线AE的对称点为F.
(1)求证:△ADF∽△ABC;
(2)若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2

分析 (1)根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例,夹角相等两三角形相似证明;
(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可;

解答 证明:(1)∵点D关于直线AE的对称点为F,
∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,
又∵∠BAC=2∠DAE,
∴∠BAC=∠DAF,
∵AB=AC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AF}$,
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵点D关于直线AE的对称点为F,
∴EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°-∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF-∠CAD=45°+45°-∠CAD=90°-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2
∴DE2=BD2+CE2

点评 本题是相似形综合题,主要利用了轴对称的性质,相似三角形的判定,同角的余角相等的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,此类题目,小题间的思路相同是解题的关键.

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