Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如图1）．动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止．两点运动时的速度都是1cm/s．而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）（如图2）．分别以x，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN．
（1）分别求出梯形中BA，AD的长度；
（2）写出图3中M，N两点的坐标；
（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在答题卷的图4（放大了的图3）中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象．

Answer 1

分析：（1）P在AD边上运动时，三角形BQP以BQ为底边，以CD的长为高，因此可根据三角形BQP的面积为30cm²求出BC=10cm，而P、Q速度相同，P到A的时间与Q到C的时间相同，因此BA=BC．那么BA=BC=10cm．
求AD的长可通过构建直角三角形来求解．过A作AH⊥BC与H，那么在直角三角形ABH中，AH=CD=6cm，BA=10cm；因此可根据勾股定理求出BH=8cm，那么AD=BC-BH=2cm．
（2）根据（1）得出的BA、AD的长，可求出P从B运动到A，从A运动到D分别用了多少时间，即可求出M、N的横坐标，已知M、N的纵坐标为30，由此可得出M、N的坐标．
（3）三角形BQP中，BQ=t，BP=t，以BQ为底边的高，可用BP•sinB来表示，然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y，t的函数关系式．

解答：解：（1）设动点出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BC=BA=t，
则S_△BPQ=

1

2

×t×6=30，
所以t=10（秒）．
则BA=10（cm），
过点A作AH⊥BC于H，
则四边形AHCD是矩形，
∴AD=CH，CD=AH=6cm，
在Rt△ABH中，BH=8cm，
∴CH=2cm，
∴AD=2cm；

（2）可得坐标为M（10，30），N（12，30）；

（3）当点P在BA边上时，
y=

1

2

×t×tsinB=

1

2

t²×

6

10

=

3

10

t²（0≤t＜10）；
当点P在DC边上时，
y=

1

2

×10×（18-t）=-5t+90（12＜t≤18）；
图象见下．

点评：本题结合梯形、三角形的相关知识考查了二次函数的综合应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．